Question

（2004•呼和浩特）如圖，PAB為割線且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，則AB的長為（　　）

• A．

  10

• B．2

  2

• C．

  6

• D．

  5

Answer 1

分析：延長PO到E，延長線與圓O交于點E，連接EB，AC，由半徑OC的長，得到半徑OE的長，再由OE+OP得出EP的長，OP-OC得出CP的長，由PA=AB，設出PA=AB=x，則BP=2x，根據四邊形ACEB為圓O的內接四邊形，利用圓內接四邊形的外角等于它的內對角得到一對角相等，再由公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形ACP與三角形EBP相似，由相似得比例，將各自的長代入列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AB的長．

解答：解：延長PO到E，延長線與圓O交于點E，連接EB，AC，

∵OC=3，OP=5，
∴OE=OC=3，
∴EP=OE+OP=3+5=8，CP=OP-OC=5-3=2，
設PA=AB=x，則BP=2x，
∵四邊形ACEB為圓O的內接四邊形，
∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，
∴△ACP∽△EBP，
∴

CP

BP

=

AP

EP

，即

2

2x

=

x

8

，
解得：x=2

2

或x=-2

2

（舍去），
則AB=2

2

．
故選B

點評：此題考查了圓內接四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，利用了轉化及方程的思想，其中作出如圖所示的輔助線是解本題的關鍵．