Question

（2004•呼和浩特）如圖，已知M是?ABCD的AB邊的中點，CM交BD于E，則圖中陰影部分的面積與?ABCD的面積之比是（　�。�

• A．

  1

  6

• B．

  1

  4

• C．

  1

  3

• D．

  5

  12

Answer 1

分析：先過E作GH⊥CD，分別交AB、CD于H、G，再設EH=h，BM=a，S_△BEM=

1

2

ah=x，根據平行四邊形的性質，結合M是AB中點，可得AB=CD=2a，再利用AB∥CD，根據平行線分線段成比例定理的推論可知△BME∽△DCE，根據比例線段易得GH=3h，根據三角形面積公式以及平行四邊形的面積公式易求S_{平行四邊形ABCD}以及S_陰影，進而可求它們的比值．

解答：解：如右圖，過E作GH⊥CD，分別交AB、CD于H、G，
設EH=h，BM=a，S_△BEM=

1

2

ah=x，那么
∵M是AB中點，
∴BM=

1

2

AB，
∵四邊形ABCD是?，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB=CD=2a，
∵AB∥CD，
∴△BME∽△DCE，
∴EH：GE=BM：CD=1：2，
∴GH=3h，
∴S_{四邊形ABCD}=AB×GH=2a×3h=6ah=12x，
S_△CBE=S_△MBC-S_△BME=

1

2

•a•3h-

1

2

ah=ah=2x，
同理有S_△MED=2x，
S_陰影=S_△CBE+S_△MED=4x，
∴S_陰影：S_{四邊形ABCD}=4x：12x=1：3．
故選C．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、三角形的面積、平行線分線段成比例定理的推論，解題的關鍵是過E作GH⊥CD，制造出三角形、平行四邊形的高，從而便于計算．