Question

【題目】已知，的半徑為1；直線經過圓心，交于、兩點，直徑，點是直線上異于的一個動點，直線交于點，點是直線上另一點，且.

(Ⅰ)如圖1，點在的內部，求證：是的切線；

(Ⅱ)如圖2，點在的外部，且，求的長.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)OP=.

【解析】

(Ⅰ)連接ON，根據等邊對等角即可證得∠1=∠2，∠PNM=∠4，然后根據直角三角形兩銳角互余即可證得∠PNO=90°，即可得結論；(Ⅱ)連接ON，由∠3=30°可得∠1=60°，即可證明△AON是等邊三角形，可得∠5=30°，根據等腰三角形的性質可得∠3=∠4=30°，進而可證明∠PNO=90°，利用∠3的余弦值求出OP的長即可.

(Ⅰ)如圖，連接ON，

∵，

∴.

∵，

∴.

∵，

∴.

∵，

∴，即.

又∵是半徑，點在上，

∴是的切線.

(Ⅱ)解：如圖，∵，

∴

∵ON=OA，

∴是等邊三角形.

∴.

∵，

∴.

∴∠OPN=60°，

∴.

∴.