Question

【題目】已知x軸上有點A（1，0），點B在y軸上，點C（m，0）為x軸上一動點且m＜﹣1，連接AB，BC，tan∠ABO=，以線段BC為直徑作⊙M交直線AB于點D，過點B作直線l∥AC，過A，B，C三點的拋物線為y=ax2+bx+c，直線l與拋物線和⊙M的另一個交點分別是E，F．

（1）求B點坐標；

（2）用含m的式子表示拋物線的對稱軸；

（3）線段EF的長是否為定值？如果是，求出EF的長；如果不是，說明理由．

（4）是否存在點C（m，0），使得BD=AB？若存在，求出此時m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B的坐標為（0，2）；（2）x=；（3）見解析；（4）﹣ 或﹣

【解析】試題分析：（1）根據正切函數的定義及點A的坐標求解；

（2）因為點C、A、B在拋物線上，故代入其坐標列方程組求解即可；

（3）由二次函數的圖像的對稱性表示出EB的長，由圓的對稱性表示出FB的長，根據EF=FB﹣EB求出EF的長，判斷是否為定值即可；

（4）連接CD. ①當D在線段AB上時，因為BC為圓的直徑，所以∠BDC=90°，若BD=AB，可證明CA=CB，由此可求得m的值；②當交點D在AB的延長線上時，由△AOB∽△ADC列方程求解.

解：（1）∵tan∠ABO=，且A（1，0），

∴OB=2，即：點B的坐標為（0，2）．

（2）點C（m，0），A（1，0），B（0，2）在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴

解之得：b=﹣，a=，

∴x=﹣=．

即：拋物線的對稱軸為x=

（3）∵EB=﹣（1+m），FB=﹣m，EF=FB﹣EB=1，

∴線段EF的長是定值．

（4）①當D在線段AB上時，如下圖所示：連接CD

∵BC是⊙M的直徑，

∴∠CDB=90°，

∵若BD=AB，即BD=DA

則易證CB=CA

∴=1﹣m

解之得m=﹣，

即：存在一點C（﹣，0），使得BD=AB．

②如圖2中，當交點D在AB的延長線上時，

∵△AOB∽△ADC，

∴=，

∴=，

解得m=﹣，

∴存在一點C（﹣，0），使得BD=AB．

綜上所述，滿足條件的m的值為﹣或﹣．