Question

已知：三點A（a，1）、B（3，1）、C（6，0），點A在正比例函數y=

1

2

x的圖象上．
（1）求a的值；
（2）點P為x軸上一動點．當△OAP與△CBP周長的和取得最小值時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由點A（a，1）在正比例函數y=

1

2

x的圖象上，即可得方程

1

2

a=1，則可求得a的值；
（2）首先由題意可得當AP+BP最小時，△OAP與△CBP周長的和取得最小值，然后過點A作關于x軸的對稱點A′，連接A′B，則A′B與x軸的交點即為所求的點P，再設直線A′B的解析式為：y=kx+b，利用待定系數法即可求得其解析式，繼而求得點P的坐標．

解答：解：（1）∵點A（a，1）在正比例函數y=

1

2

x的圖象上，
∴

1

2

a=1，
解得：a=2；

（2）如圖：∵A（2，1）、B（3，1）、C（6，0），
∴OA，BC是定長，
∵OP+PC=OC=6，
∵△OAP與△CBP周長的和為：OA+AP+OP+PC+BC+BP=OA+BC+OC+AP+BP，
∴當AP+BP最小時，△OAP與△CBP周長的和取得最小值，
過點A作關于x軸的對稱點A′，連接A′B，則A′B與x軸的交點即為所求的點P，
∴A′（2，-1），
設直線A′B的解析式為：y=kx+b，
∴

2k+b=-1 3k+b=1

，
解得：

k=2 b=-5

，
∴直線A′B的解析式為：y=2x-5，
當y=0時，2x-5=0，
解得：x=

5

2

；
∴當△OAP與△CBP周長的和取得最小值時，點P的坐標為：（

5

2

，0）．

點評：此題是一次函數的綜合題，考查了待定系數求一次函數解析式、點與函數的關系以及最短路徑問題．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．