Question

5、如圖，E、D分別是AB、AC上的一點，∠EBC、∠BCD的角平分線交于點M，∠BED、∠EDC的角平分線交于N．
求證：A、M、N在一條直線上．

Answer 1

分析：過點N作NF⊥AB于F，NH⊥ED于H，NK⊥AC于K；過點M作MJ⊥BC于J，MP⊥AB于P，MQ⊥AC于Q．根據角平分線的性質可得NF=NH，NH=NK，則NF=NK，即N在∠A的平分線上．同理，M在∠A的平分線上，即可得出結論．

解答：證明：過點N作NF⊥AB于F，NH⊥ED于H，NK⊥AC于K；過點M作MJ⊥BC于J，MP⊥AB于P，MQ⊥AC于Q．
∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC，
∴NF=NH，NH=NK，
∴NF=NK，
∴N在∠A的平分線上．
∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB
∴MP=MJ，MQ=MJ，
∴MP=MQ，
∴M在∠A的平分線上．
∵M、N都在∠A的平分線上，
∴A、M、N在一條直線上．

點評：此題主要考查角平分線的性質以及逆定理，作輔助線是關鍵．