Question

已知方程組的兩個解為和，且x₁，x₂是兩個不相等的實數，若x₁²+x₂²-3x₁x₂=8a²-6a-11．
（1）求a的值；
（2）不解方程組判斷方程組的兩個解能否都是正數？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）首先將方程（2）代入（1），變成一個關于x的一元二次方程，根據根與系數的關系進行求解；
（2）根據根與系數的關系知道兩根之和大于0，兩根之積大于0，可以得到結果．
解答：解：（1）由方程組可得x²-x+a+1=0，
由題意知：△=1-4（a+1）=-3-4a＞0，
所以a＜-．
又x₁+x₂=1，x₁x₂=a+1，
所以x₁²+x₂²-3x₁x₂=（x₁+x₂）²-5x₁x₂=1-5（a+1）=-4-5a=8a²-6a-11，
解得：a=-或1．又a＜-，
所以a的值為-．
（2）能．
∵x₁+x₂=1＞0，x₁x₂=a+1=＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，且y₁=x₁+1＞0，y₂=x₂+1＞0，
故存在方程組的兩個解都為正數．
即可以不解方程組判斷方程組的兩個解都是正數．
點評：本題主要考查了根與系數的關系和用公式法解一元二次方程，題目很有新意，要好好理解．