Question

10．如圖，已知點O到△ABC的兩邊AB、AC的距離分別是OD、OE，且OD=OE，OB=OC．
（1）如圖1，若點O在BC邊上，補全圖形并求證：AB=AC；
（2）如圖2，若點O在△ABC的內部，補全圖形并求證：AB=AC．

Answer 1

分析 （1）先利用HL證明△OBD和△OCE全等，根據全等三角形對應角相等得到∠B=∠C，再根據等角對等邊的性質即可得到AB=AC；
（2）先利用HL證明△OBD和△OCE全等，根據全等三角形對應角相等得到∠OBD=∠OCE，再由等腰三角形的性質得出∠OBC=∠OCB，證出∠ABC=∠ACB，即可得出結論．

解答 （1）證明：如圖1所示：
∵OD⊥AB，OE⊥AC，E，F分別是垂足，
∴∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△OBD和Rt△OCE中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OD=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OBD≌Rt△OCE（HL），
∴∠B=∠C（全等三角形的對應角相等），
∴AB=AC（等角對等邊）；
（2）證明：如圖2所示：
∵OD⊥AB，OE⊥AC，E，F分別是垂足，
∴∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△OBD和Rt△OCE中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OD=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OBD≌Rt△OCE（HL），
∴∠OBD=∠OCE（全等三角形的對應角相等），
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠OCF+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

點評 本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對應角相等的判定與性質，等角對等邊的性質，熟練掌握性質作出輔助線是解題的關鍵．