Question

【題目】已知二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）兩點，與y軸交于點C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的兩根．

（1）若拋物線的頂點為D，求S△ABC：S△ACD的值；

（2）若∠ADC=90°，求二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】（1）1：1；（2）y=x2+x﹣．

【解析】

試題分析：（1）首先解一元二次方程，求出點A、點B的坐標，得到含有字母a的拋物線的交點式；然后分別用含字母a的代數式表示出△ABC與△ACD的面積，最后得出結論；

（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系數a，得出拋物線的解析式．

試題解析：（1）解方程x2+4x-5=0，得x=-5或x=1，

由于x1＜x2，則有x1=-5，x2=1，

∴A（-5，0），B（1，0）．

拋物線的解析式為：y=a（x+5）（x-1）（a＞0），

∴對稱軸為直線x=-2，頂點D的坐標為（-2，-9a），

令x=0，得y=-5a，

∴C點的坐標為（0，-5a）．

依題意畫出圖形，如右圖所示，則OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，

過點D作DE⊥y軸于點E，則DE=2，OE=9a，CE=OE-OC=4a．

S△ACD=S梯形ADEO-S△CDE-S△AOC
=（DE+OA）OE-DECE-OAOC=（2+5）9a-×2×4a-×5×5a=15a，

而S△ABC=ABOC=×6×5a=15a，

∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1：1；

（2）如解答圖，過點D作DE⊥y軸于E

在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，

在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，

設對稱軸x=-2與x軸交于點F，則AF=3，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．

∵∠ADC=90°，∴△ACD為直角三角形，

由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，

即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化簡得：a2=，

∵a＞0，

∴a=，

∴拋物線的解析式為：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．

考點: 二次函數綜合題．