Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延長CB至F，使BF=CD．
（1）求∠ABC的度數；
（2）求證：△CAF為等腰三角形；
（3）如果設AD=x，求四邊形ABCD的面積S（用x表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）梯形是等腰梯形，則∠DCB=∠ABC；△ACD是等腰三角形，則∠DCA=∠DAC．
因為AD∥BC，所以∠DAC=∠ACB，則∠DCB=2∠ACB，所以∠ABC=2∠ACB．
運用內角和定理求解；
（2）利用三角形的外角求∠F的度數，從而有∠F=∠ACB，則AC=AF，得證；
（3）作AE⊥BC于E，求出高AE，根據梯形面積公式求解面積．
解答：（1）解：∵AD∥BC，AB=DC，∴∠DCB=∠ABC；
∵AD=DC，∴∠DCA=∠DAC．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
則∠DCB=2∠ACB，所以∠ABC=2∠ACB．
∵AC⊥AB，∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ACB=30°，∠ABC=60°；

（2）證明：∵BF=CD，AB=DC，∴BF=AB．
∴∠F=∠BAF．
∵∠ABC=60°，∴∠F=30°．
∴∠ACB=∠F．
∴AC=AF，即：△CAF為等腰三角形；

（3）解：作AE⊥BC于E．
∵AB=AD=x，∠ABC=60°，
∴AE=x．
∵∠ACB=30°，AC⊥AB，
∴BC=2x．
∴S_梯形ABCD=×（x+2x）×x=x²．
點評：此題考查了等腰梯形的性質、等腰三角形的判定和性質、梯形的面積計算等知識點，綜合性較強．