Question

如圖，把Rt△ACB與Rt△DCE按圖（甲）所示重疊在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△DCE繞直角頂點C按順時針方向旋轉30°，使得AB分別與DC，DE相交于點F、G，CB與DE相交于點M，如圖（乙）所示．
（1）求CM的長；
（2）求△ACB與△DCE的重疊部分（即四邊形CMGF）的面積（保留根號）；
（3）將△DCE按順時針方向繼續旋轉45°，得△D₁CE₁，這時，點D₁在△ACB的內部，外部，還是邊上？證明你的判斷．

Answer 1

解：（1）∵旋轉角度為30°，即∠ACD=30°，
∴∠DCM=90°﹣30°=60°，
∴∠D=∠DCM=60°，
∴△DCM為正三角形，
∴CM=CD=2；
（2）在△ACF中，∠AFC=180°﹣∠BAC﹣∠ACD=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵AC=2，
∴CF=ACsin60°=2×=，DF=CD﹣CF=2﹣，
在Rt△DFG中，FG=DFtan60°=（2﹣），
由圖可知S_{四邊形CMGF}=S_△DCM﹣S_△DFG，
=×2×（2×）﹣×（2﹣）×（2﹣），
=﹣（7﹣12），
=6﹣；
（3）點D₁在△ACB的內部．
理由如下：如圖，設直線CD與直線AB相交于點N，
∵△DCE按順時針方向繼續旋轉45°，
∴∠FCN=45°，在Rt△FCN中，CN=CF÷cos∠FCN=÷=，
∵＞2，
∴點D₁在△ACB的內部．