Question

如圖，把Rt△ACB與Rt△DCE按圖（甲）所示重疊在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△DCE繞直角頂點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，使得AB分別與DC，DE相交于點(diǎn)F、G，CB與DE相交于點(diǎn)M，如圖（乙）所示．
（1）求CM的長(zhǎng)；
（2）求△ACB與△DCE的重疊部分（即四邊形CMGF）的面積（保留根號(hào)）；
（3）將△DCE按順時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)45°，得△D₁CE₁，這時(shí)，點(diǎn)D₁在△ACB的內(nèi)部，外部，還是邊上？證明你的判斷．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度求出∠DCM=60°，然后判定△DCM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等解答即可；
（2）先求出∠AFC=90°，然后解直角三角形求出CF的長(zhǎng)度，再求出DF的長(zhǎng)度，在Rt△DFG中求出FG，然后根據(jù)S_{四邊形CMGF}=S_△DCM-S_△DFG，列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）設(shè)直線CD與直線AB相交于點(diǎn)N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度為45°可得△CDN是等腰直角三角形，再解直角三角形求出CN的長(zhǎng)度，然后與邊長(zhǎng)2進(jìn)行比較即可得解．

解答：解：（1）∵旋轉(zhuǎn)角度為30°，即∠ACD=30°，
∴∠DCM=90°-30°=60°，
∴∠D=∠DCM=60°，
∴△DCM為正三角形，
∴CM=CD=2；

（2）在△ACF中，∠AFC=180°-∠BAC-∠ACD=180°-60°-30°=90°，
∵AC=2，
∴CF=AC•sin60°=2×

3

2

=

3

，
DF=CD-CF=2-

3

，
在Rt△DFG中，F(xiàn)G=DF•tan60°=（2-

3

）

3

，
由圖可知S_{四邊形CMGF}=S_△DCM-S_△DFG，
=

1

2

×2×（2×

3

2

）-

1

2

×（2-

3

）×（2-

3

）

3

，
=

3

-

1

2

（7

3

-12），
=6-

5

2

3

；

（3）點(diǎn)D₁在△ACB的內(nèi)部．
理由如下：如圖，設(shè)直線CD與直線AB相交于點(diǎn)N，
∵△DCE按順時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)45°，
∴∠FCN=45°，
在Rt△FCN中，CN=CF÷cos∠FCN=

3

÷

2

2

=

6

，
∵

6

＞2，
∴點(diǎn)D₁在△ACB的內(nèi)部．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及解直角三角形，（2）中利用兩個(gè)三角形的面積表示不規(guī)則四邊形的面積是解題的關(guān)鍵．