Question

如圖，把Rt△ACB與Rt△DCE按圖（甲）所示重疊在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△DCE繞直角頂點C按順時針方向旋轉30°，使得AB分別與DC，DE相交于點F、G，CB與DE相交于點M，如圖（乙）所示．
（1）求CM的長；
（2）求△ACB與△DCE的重疊部分（即四邊形CMGF）的面積（保留根號）；
（3）將△DCE按順時針方向繼續旋轉45°，得△D₁CE₁，這時，點D₁在△ACB的內部，外部，還是邊上？證明你的判斷．

Answer 1

解：（1）∵旋轉角度為30°，即∠ACD=30°，
∴∠DCM=90°-30°=60°，
∴∠D=∠DCM=60°，
∴△DCM為正三角形，
∴CM=CD=2；

（2）在△ACF中，∠AFC=180°-∠BAC-∠ACD=180°-60°-30°=90°，
∵AC=2，
∴CF=AC•sin60°=2×=，
DF=CD-CF=2-，
在Rt△DFG中，FG=DF•tan60°=（2-），
由圖可知S_{四邊形CMGF}=S_△DCM-S_△DFG，
=×2×（2×）-×（2-）×（2-），
=-（7-12），
=6-；

（3）點D₁在△ACB的內部．
理由如下：如圖，設直線CD與直線AB相交于點N，
∵△DCE按順時針方向繼續旋轉45°，
∴∠FCN=45°，
在Rt△FCN中，CN=CF÷cos∠FCN=÷=，
∵＞2，
∴點D₁在△ACB的內部．
分析：（1）根據旋轉的角度求出∠DCM=60°，然后判定△DCM是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等解答即可；
（2）先求出∠AFC=90°，然后解直角三角形求出CF的長度，再求出DF的長度，在Rt△DFG中求出FG，然后根據S_{四邊形CMGF}=S_△DCM-S_△DFG，列式進行計算即可得解；
（3）設直線CD與直線AB相交于點N，根據旋轉的角度為45°可得△CDN是等腰直角三角形，再解直角三角形求出CN的長度，然后與邊長2進行比較即可得解．
點評：本題考查了旋轉變換的性質，等邊三角形的判定與性質，直角三角形的性質，以及解直角三角形，（2）中利用兩個三角形的面積表示不規則四邊形的面積是解題的關鍵．