Question

18．問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖（1），將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，轉動△DEF使DF⊥AB交AC于點G，DE交BC于點H．求兩三角形重疊部分（四邊形DHCG）的面積．

（1）獨立思考：請解答老師提出的問題．
（2）合作交流：將△DEF繞點D繼續旋轉，如圖（2），使DF經過點C，DE交BC于點H，你能求出兩三角形重疊部分（△DHC）的面積，請寫出解答過程．
（3）拓展探究：邊EF在繞點D旋轉的過程中掃過了一個圓環（注：填圖形名稱），該圖形的面積為64π．

Answer 1

分析 （1）根據全等三角形的性質得到∠EDF=∠B，根據勾股定理得到AB=DF=10，根據三角形的中位線的性質得到DH=$\frac{1}{2}$AC=4，BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=3，根據相似三角形的性質得到AG=$\frac{25}{4}$，CG=$\frac{7}{4}$，根據梯形的面積公式得到結論；
（2）如圖（2），根據直角三角形的性質得到AD=BD=CD，由等腰三角形的性質得到∠ACD=∠A，根據余角的性質得到∠BCD=∠B，過H作HM⊥CD于M，由等腰三角形的性質得到DM=CM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{2}$，根據相似三角形的性質得到DM=$\frac{10}{3}$，根據三角形的面積公式即可得到結論；
（3）邊EF在繞點D旋轉的過程中掃過了一個圓環，根據圓的面積公式得到結果．

解答 解：（1）在△ABC與△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DE}\\{∠ACB=∠DEF}\\{AC=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠EDF=∠B，
∵∠ACB=∠E=90°，
∴AB=DF=10，
∵DF⊥AB，
∴∠EDF+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠A，
∴DH∥AC，
∵AD=BD，
∴DH=$\frac{1}{2}$AC=4，BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵∠ADG=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴AG=$\frac{25}{4}$，
∴CG=$\frac{7}{4}$，
∴四邊形DHCG的面積=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{7}{4}$）×3=$\frac{69}{8}$，
（2）如圖（2），
∵∠ACB=90°，D是AB的中點，
∴AD=BD=CD，
∴∠ACD=∠A，
∵∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠B，
∵∠CDH=∠B，
∴∠CDH=∠DCH，
∴CH=DH，
過H作HM⊥CD于M，
則DM=CM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{2}$，
∵∠HMD=∠ACB=90°，∠MDH=∠B，
∴△MDH∽△ABC，
∴$\frac{DM}{BC}=\frac{HM}{AC}$，即$\frac{\frac{5}{2}}{6}=\frac{MH}{8}$，
∴DM=$\frac{10}{3}$，
∴S_△CDH=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{10}{3}$=$\frac{25}{3}$；

（3）邊EF在繞點D旋轉的過程中掃過了一個圓環，
S_圓環=10²π-6²π=64π，
故答案為：圓環，64π．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定、相似三角形的判定和性質、直角三角形斜邊上的中線性質以及勾股定理和三角形面積和圓的面積的計算方法；本題難度較大，綜合性強，培養學生綜合運用定理進行推理論證和計算的能力．