Question

7．如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分別在BC，CA上，AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的角平分線．求證：BQ+AQ=AB+BP．

Answer 1

分析 延長AB到D，使BD=BP，連接PD．則∠D=∠5．由已知條件不難算出：∠1=∠2=30°，∠3=∠4=40°=∠C．
于是QB=QC．又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，故∠D=40°．于是△APD≌△APC（AAS），所以AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，等量代換即可得證．

解答 證明：延長AB到D，使BD=BP，連接PD，
則∠D=∠5．
∵AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，
∴QB=QC，
又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，
∴∠D=40°．
在△APD與△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠C}\\{∠2=∠1}\\{AP=AP}\end{array}\right.$
∴△APD≌△APC（AAS），
∴AD=AC．
即AB+BD=AQ+QC，
∴AB+BP=BQ+AQ．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理的應用，正確作好輔助線，構造全等三角形是解此題的關鍵，主要考查學生的推理能力，難度偏大．