Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線．

（1）求這條拋物線的關(guān)系式，并寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）如果直線y=kx+b經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；

（3）點(diǎn)P在直線上，且以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）∴y=﹣x2+2x+3，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，頂點(diǎn)M（1，4）；（2）證明見(jiàn)解析; （3）P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）．

【解析】試題分析：（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出，將解析式配成頂點(diǎn)式即可得到對(duì)稱(chēng)軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先由C、M兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線CM解析式，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)，由于C、N兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則CN∥AD，同時(shí)可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出CN=AD，結(jié)論顯然；
（3）設(shè)出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，表示出MP的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作于H，表示出PH的長(zhǎng)度，在Rt△APE中中用勾股定理列出方程，解之即得答案．

試題解析：(1)∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)C(0,3)，

對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,頂點(diǎn)M(1,4)；

(2)如圖1，

∵點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，

∴N(2,3)，

∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)C.M兩點(diǎn)，

∴

∴

∴y=x+3，

∵y=x+3與x軸交于點(diǎn)D，

∴D(3,0)，

∴AD=2=CN

又∵ADCN，

∴CDAN是平行四邊形；

(3)設(shè)P(1,a)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥DM于H，連接PA、PB，如圖2，

則MP=4a，

又

Rt△APE中,