Question

已知：函數y=mx²-（4m+1）x+3m+3與x軸兩交點橫坐標均為正整數，且m為整數．直線y=-x+b經過反比例函數上的點Q（4，a）．假設該直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，它與反比例函數圖象的另一個交點為P，連接OP、OQ，求△OPQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：函數與x軸有兩個交點，所以m必不為0，首先求出該函數與x軸的兩個交點的橫坐標，然后根據這兩個橫坐標為正整數以及m為整數求出m的值，據此能得到反比例函數的解析式以及點Q的坐標，將點Q坐標代入直線y=-x+b中，能求出b的值，進而能得到點A、B以及點P的坐標；通過觀察圖形不難看出，△OPQ的面積可由△OAB的面積減去△OBP、△OAQ的面積和得出，據此思路解題．
解答：解：依題意，令：mx²-（4m+1）x+3m+3=0，
解得：x₁=3，x₂==1+，m取正整數1．
∴反比例函數：y=，一次函數：y=-x+5，點Q（4，1）；
聯立一次函數與反比例函數的解析式，有：
，解得 、
∴點P（1，4）；
易知：A（5，0）、B（0，5）；
S_△OPQ=S_△OAB-S_△OAQ-S_△OBP
=×5×5-×5×1-×1×5
=7.5；
即：△OPQ的面積為7.5．
點評：解答此題的難點是求出m的值，這就要熟練掌握二次函數與方程間的聯系；在求三角形的面積時，要注意圖形間的面積和差關系；整體的難度并不大．