Question

5．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，∠ACB=90°，BC=2，AB=3．
（1）求證：CD²=AD•BD；
（2）請直接寫出△ACD與△CBD的周長比=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
△ACD與△CBD的面積比=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （1）證明△ACD∽△CBD，然后根據相似三角形的對應邊的比相等即可證得；
（2）根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 證明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵CD是斜邊AB上的高
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠1+∠A=90°，
∴∠A=∠2，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=AD•BD；
（2）∵∠ACB=90°，BC=2，AB=3，
∴AC=$\sqrt{5}$，
∴△ACD與△CBD的周長比=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，△ACD與△CBD的面積比=（$\frac{AC}{BC}$）²=$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，證明等積式成立，常用的思路就是轉化為證明比例式，從而轉化為證明三角形相似．