Question

如圖（1）所示，OP是∠MON的平分線，

（1）請你利用圖（1）畫出公共邊在角平分線OP上的兩個全等三角形并將添加的全等條件標注在圖上． 
（2）如圖（2），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線交于F，試判斷FE與FD之間的數量關系．
（3）如圖（3），在△ABC中，若∠ACB≠90°，而（1）中其他條件不變，請問（1）中所得的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

分析：（1）只要使OB=OC即可作出全等的三角形；
（2）在AC上截取AG=AE，連接FG，易證△EAF≌△GAF，證得FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°，然后證明△FDC≌△FGC，得到FD=FG，從而證明FE=FD；
（3）與（2）的證明類似，首先證明△EAF≌△GAF，證得FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°，然后證明△FDC≌△FGC，即可得到．

解答：解：（1）如以上兩圖（1）都可以．   
（2）如圖2，在AC上截取AG=AE，連接FG．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中

AE=AG ∠EAF=∠FAG AF=AF

∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC．
在△FDC和△FGC中

∠DFC=∠GFC FC=FC ∠FCG=∠FCD

∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG．
∴FE=FD．    
（3）結論FE=FD仍成立．
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA，
又由（1）可知∠FAC=

1

2

∠BAC，∠FCA=

1

2

∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°，
∴∠EFA=∠HEA=180°-120°=60°，
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH，
∴FE=FD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，正確構造全等的三角形，理解三個小題之間的聯系是本題的關鍵．