Question

已知：如圖，PA，PB，DC分別切⊙O于A，B，E點．
（1）若∠P=40°，求∠COD；
（2）若PA=10cm，求△PCD的周長．

Answer 1

分析：（1）連接OA、OE、OB，根據切線的性質可以得到：∠PAO=∠PBO=90°，則∠AOB的度數即可求解，然后利用切線長定理可以證得：∠COD=∠EOC+∠EOD=

1

2

∠AOE+

1

2

∠BOE=

1

2

∠AOB，據此即可求解；
（2）利用切線長定理可以得到：CE=CA，DE=DB，PA=PB，則△PCD的周長是：PC+PD+CD=PC+CE+PD+DB=PC+CA+PD+DB=PA+PB=2PA，據此即可求解．

解答：解：（1）連接OA、OE、OB．
∵PA，PB，分別切⊙O于A，B．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°-∠P-∠PAO-∠PBO=360°-40°-90°-90°=140°．
∵CA、CE是圓的切線，
∴∠ACO=∠ECO，∠OAC=∠OEC=90°，
∴∠AOC=∠EOC=

1

2

∠AOE，
同理，∠EOD=

1

2

∠BOE，
∴∠COD=∠EOC+∠EOD=

1

2

∠AOE+

1

2

∠BOE=

1

2

∠AOB=70°．
（2）∵PA，PB，DC分別切⊙O于A，B，E點，
∴CE=CA，DE=DB，PA=PB．
∴△PCD的周長是：PC+PD+CD=PC+CE+PD+DB=PC+CA+PD+DB=PA+PB=2PA=2×10=20cm．

點評：本題考查了圓的切線性質，以及切線長定理，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．