Question

如圖，把梯形OBCD放在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB在x軸正半軸上，OB=5，OD=BC=2，CD=3．
（1）直接寫(xiě)出∠DOB的度數(shù)；
（2）一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，沿O→B→C→D→O以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止．
①當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若∠DMC=∠DOB，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)M在B→C→D→O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，△MNB的面積等于？

Answer 1

【答案】分析：（1）從D點(diǎn)往OB作垂線DM，結(jié)合圖形求出OM，根據(jù)直角三角形性質(zhì)可得出∠DOB．
（2）先證∠1=∠2，再證△ODM∽△BMC，設(shè)OM=x，由相似比列出方程求解即可．
（3）分M點(diǎn)在DC，CB，BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)三種情況作討論．
當(dāng)點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1，此時(shí)5＜t≤7，用t表示BN，MN，然后用表示出△MNB的面積求解即可；
當(dāng)點(diǎn)M在DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，此時(shí)7＜t≤10，用t表示BN，MN，然后用表示出△MNB的面積求解即可；
當(dāng)點(diǎn)M在DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，此時(shí)10＜t≤12，用t表示BN，MN，然后用表示出△MNB的面積求解即可．
解答：解：（1）如圖，從D點(diǎn)往OB坐垂線DM，由圖形可得OM=1，根據(jù)直角三角形性質(zhì)可得出∠1=30°
∴∠DOB=60°．（3分）

（2）①如圖，∵∠DMC=∠DOB=60°，
∴∠1+∠3=120°，∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠2（4分）
又∵∠DOM=∠MBC=60°
∴△ODM∽△BMC（5分）
∴
設(shè)OM=x，則2×2=x（5-x），解得x=1或4（6分）
∴M（1，0）或（4，0）；（7分）

②（I）當(dāng)點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1，此時(shí)5＜t≤7，
∵M(jìn)B=t-5
BN=，MN=（8分）
∴，
解得（不合，舍去）（9分）
（II）當(dāng)點(diǎn)M在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，此時(shí)7＜t≤10，
可求得BN=（t-7）+1=t-6，MN=（10分）
∴
解得t=6.5（不合，舍去）（11分）
（III）當(dāng)點(diǎn)M在DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，此時(shí)10＜t≤12，
∵OM=12-t，ON=，MN=，
∴BN=OB-ON=（12分）
∴
解得（不合，舍去）（13分）
綜合（I）（II）（III）可知，當(dāng)或時(shí)，．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及梯形及相似三角形的相關(guān)性質(zhì)，難度中上．