Question

如圖，把梯形OBCD放在平面直角坐標系中，O為坐標原點，OB在x軸正半軸上，OB=5，OD=BC=2，CD=3．
（1）直接寫出∠DOB的度數；
（2）一動點M從點O出發，沿O→B→C→D→O以每秒1個單位的速度運動，運動到點O停止．
①當點M在OB上運動時，若∠DMC=∠DOB，請求出此時點M的坐標；
②設點M的運動時間為t秒，當點M在B→C→D→O上運動時，過點M作MN⊥x軸，垂足為N，問：當t為何值時，△MNB的面積等于

3

4

？

Answer 1

分析：（1）從D點往OB作垂線DM，結合圖形求出OM，根據直角三角形性質可得出∠DOB．
（2）先證∠1=∠2，再證△ODM∽△BMC，設OM=x，由相似比列出方程求解即可．
（3）分M點在DC，CB，BO上運動時三種情況作討論．
當點M在BC上運動時，如圖1，此時5＜t≤7，用t表示BN，MN，然后用表示出△MNB的面積求解即可；
當點M在DO上運動時，如圖3，此時7＜t≤10，用t表示BN，MN，然后用表示出△MNB的面積求解即可；
當點M在DO上運動時，如圖3，此時10＜t≤12，用t表示BN，MN，然后用表示出△MNB的面積求解即可．

解答：解：（1）如圖，從D點往OB坐垂線DM，由圖形可得OM=1，根據直角三角形性質可得出∠1=30°
∴∠DOB=60°．（3分）

（2）①如圖，∵∠DMC=∠DOB=60°，
∴∠1+∠3=120°，∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠2（4分）
又∵∠DOM=∠MBC=60°
∴△ODM∽△BMC（5分）
∴

OD

BM

=

OM

BC

設OM=x，則2×2=x（5-x），解得x=1或4（6分）
∴M（1，0）或（4，0）；（7分）

②（I）當點M在BC上運動時，如圖1，此時5＜t≤7，
∵MB=t-5
BN=

1

2

(t-5)，MN=

3

2

(t-5)（8分）
∴S△MNB=

1

2

•

1

2

(t-5)•

3

2

(t-5)=

3

4

，
解得t1=5+

2

，t2=5-

2

（不合，舍去）（9分）
（II）當點M在CD上運動時，如圖2，此時7＜t≤10，
可求得BN=（t-7）+1=t-6，MN=

3

（10分）
∴S△MNB=

1

2

•(t-6)•

3

=

3

4

解得t=6.5（不合，舍去）（11分）
（III）當點M在DO上運動時，如圖3，此時10＜t≤12，
∵OM=12-t，ON=

1

2

(12-t)，MN=

3

2

(12-t)，
∴BN=OB-ON=5-

1

2

(12-t)=

t-2

2

（12分）
∴S△MNB=

1

2

•

t-2

2

•

3

2

(12-t)=

3

4

解得t1=7+

23

，t2=7-

23

（不合，舍去）（13分）
綜合（I）（II）（III）可知，當t=5+

2

或t=7+

23

時，S△MNB=

3

4

．

點評：本題涉及梯形及相似三角形的相關性質，難度中上．