Question

已知：ABCD的對角線交點為O，點E、F分別在邊AB、CD上，分別沿DE、BF折疊四邊形ABCD, A、C兩點恰好都落在O點處，且四邊形DEBF為菱形（如圖）．

⑴求證：四邊形ABCD是矩形；
⑵在四邊形ABCD中，求的值．

Answer 1

（1）證明：連結OE

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DO=OB，
∵四邊形DEBF是菱形，
∴DE=BE，
∴EO⊥BD
∴∠DOE= 90°
即∠DAE= 90°
又四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形
（2）解：∵四邊形DEBF是菱形
∴∠FDB=∠EDB
又由題意知∠EDB=∠EDA
由（1）知四邊形ABCD是矩形
∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°
則∠ADB= 60°
∴在Rt△ADB中，有AD∶AB=1∶
即

（1）根據矩形的判定定理，先證DE=BE，再證∠DOE=90°，則可證．
（2）根據已知條件和（1）的結論，先求得AD：AB，即可得到的值．