Question

如圖，向?ABCD的外側畫正方形ADGH和正方形DCEF，連接BH、BE和HE，
①試猜想△BHE的形狀為________三角形；
②向?ABCD的內側畫正方形ADGH和正方形DCEF，連接BH、BE和HE，請畫出圖形．判斷△BHE的形狀，并給出證明．

Answer 1

等腰直角
分析：（1）是等腰直角三角形；
（2）要證△HBE是等腰直角三角形，需要證明△HAB≌△BCE，利用正方形的性質，以及平行四邊形的性質，可證出全等，再利用全等三角形的性質，以及平行四邊形和正方形角的有關性質，可證出∠HBE=90°．
解答：（本題8分）
（1）等腰直角三角形
（2）作圖如圖△BHE為等腰直角三角形．

解：∵四邊形ADGH是正方形，
∴AH=AD，∠HAB=90°-∠DAB．
同理，CD=CE，∠BCE=90°-∠DCB．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB，BC=AD，∠DCB=∠DAB．
∴AH=BC，∠HAB=∠BCE，AB=CE．
∴△HAB≌△BCE．
∴BH=BE，∠CEB=∠ABH．
∠HBE=360°-∠ABH-∠ABC-∠CBE=360°-∠CEB-∠CBE-[180°-（90°-∠BCE）]
=360°-（∠CEB+∠CBE+∠BCE）-90°=360°-180°-90°=90°．
點評：本題考查了等腰直角三角形的判定，正方形的性質，全等三角形的判定和性質等知識．