Question

若等式(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)·(x＋p)－5對任意的x均成立，其中m、n、p為常數，求mn－p的值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(x＋1)(x－m)(x－n) 　　＝(x2－mx＋x－m)(x－n) 　　＝x3－mx2＋x2－mx－nx2＋mnx－nx＋mn 　　＝x3＋(1－m－n)x2＋(mn－m－n)x＋mn 　　而x(x＋2)(x＋p)－5 　　＝(x2＋2x)(x＋p)－5 　　＝x3＋2x2＋px2＋2px－5＝x3＋(2＋p)x2＋2px－5 　　∵(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)(x＋p)－5，對任意x均成立． 　　∴ 　　③代入②得5＋m＋n＝－2p　　　　④ 　　①＋④得p＝－4 　　∴mn－p＝－5＋4＝－1 　　解法二：∵(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)(x＋p)－5對任意x均成立． 　　∴令x＝0代入得mn＝－5 　　令x＝－1代入得0＝－1(p－1)－5 　　∴p＝－4，∴mn－p＝－5＋4＝－1 　　說明：anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝0若對任意x都成立，即不論x取何值它都等于零，當且僅當an＝an－1＝…＝a1＝a0＝0，這就是多項式恒等定理；采用觀察賦值法求值，簡化了解題過程，優化了你的思維，是以后學習中常采用的方法．

提示：

提示：對于任意的x等式(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)(x＋p)－5都成立．所以可通過左、右兩邊展開，然后比較對應項的系數而求解．也可以根據要求式的特征有選擇地取x的一些值代入，要求mn，觀察等式特點令x＝0代入得mn＝－5；而要求p可令x＝－1代入得0＝－1×(－1＋p)－5可得p＝－4，從而求解．