Question

已知，矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．

(1)如圖，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

(2)如圖，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，

①已知點P的速度為每秒5 cm，點Q的速度為每秒4 cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

②若點P、Q的運動路程分別為a、b(單位：cm，ab≠0)，已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數量關系式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：①∵四邊形是矩形 　　∴∥ 　　∴， 　　∵垂直平分，垂足為 　　∴ 　　∴≌ 　　∴ 　　∴四邊形為平行四邊形 　　又∵ 　　∴四邊形為菱形 　　②設菱形的邊長，則 　　在中， 　　由勾股定理得，解得 　　∴ 　　(2)①顯然當點在上時，點在上，此時、、、四點不可能構成平行四邊形；同理點在上時，點在或上，也不能構成平行四邊形．因此只有當點在上、點在上時，才能構成平行四邊形 　 　　∴以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時， 　　∵點的速度為每秒5，點的速度為每秒4，運動時間為秒 　　∴， 　　∴，解得 　　∴以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，秒． 　　②由題意得，以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點、在互相平行的對應邊上． 　　分三種情況： 　　i)如圖1，當點在上、點在上時，，即，得 　　ii)如圖2，當點在上、點在上時，，即，得 　　iii)如圖3，當點在上、點在上時，，即，得 綜上所述，與滿足的數量關系式是