Question

已知，矩形ABCD中，延長BC至E，使BE=BD，F為DE的中點，連結AF、CF．
（1）若AB=3，AD=4，求CF的長；
（2）求證：∠ADB=2∠DAF．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理得出BD的長，以及DE的長，進而求出CF的長；
（2）首先得出△ADF≌△BCF（SAS），進而得出∠DAF=∠FBC=

1

2

∠DBE，再利用平行線的性質得出即可．

解答：解：（1）∵因為四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4，CD=AB=3，
在RT△ABD中，BD=

AB2+AD2

=

32+42

=5，
∴BE=BD=5CE=BE-BC=1，
∴DE=

CD2+CE2

=

10

，
∵F是DE的中點，
∴CF=

DE

2

=

10

2

；

（2）連接BF．
∵BE=BD，EF=DF，
∴∠DBF=∠EBF，
又∵CF=

1

2

DE=DF，
∴∠DCF=∠FDC，
∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，
即∠ADF=BCF，
在△ADF和△BCF中，

DF=CF ∠ADF=∠BCF DA=CB

，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠DAF=∠FBC=

1

2

∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE，
∴∠ADB=2∠DAF．

點評：此題主要考查了矩形的性質以及全等三角形的判定與性質和勾股定理等知識，根據已知得出△ADF≌△BCF是解題關鍵．