Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AE⊥BC于E，直徑AD交BC于點F，連接BD．
（1）找出圖中2對相似三角形；
（2）在你找出的各對相似三角形中，選擇一對，給出證明；
（3）若AB=6，AC=4，AE=3，求⊙O直徑AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角，可知∠ABD=90°，則∠ABD=∠AEC，又由同弧所對的圓周角相等，得出∠D=∠C，根據有兩角對應相等的兩三角形相似，可知△ACE∽△ADB；同樣，在△AFC與△BFD中，容易發現有兩對角相等，得出△AFC∽△BFD；
（2）根據有兩角對應相等的兩三角形相似，證明△AFC∽△BFD；
（3）由△ACE∽△ADB，根據相似三角形的對應邊成比例，可求出直徑AD的長．
解答：解：（1）△ACE∽△ADB，△AFC∽△BFD．

（2）∵∠FAC=∠FBD，∠AFC=∠BFD，
∴△AFC∽△BFD．

（3）∵△ACE∽△ADB，
∴AC：AD=AE：AB，
∴AD=（AC•AB）：AE=4×6÷3=8．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質．注意：在圓中證明兩三角形相似時，通常找角相等的條件，比找邊對應成比例容易得多．