Question

函數，其中a為任意實數，則該函數的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為    ．

Answer 1

【答案】分析：設函數y=x²-ax+（a-1）與x軸的交點坐標分別為（x₁，0），（x₂，0），則該函數的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為|x₁-x₂|．欲求|x₁-x₂|的最小值，需要根據關于x一元二次方程
x²-ax+（a-1）=0的根與系數的關系與代數式的變形相結合求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=a²-a+1=（a-）²+，最后根據二次函數的最值的求法即可解得|x₁-x₂|的最小值．
解答：解：設函數y=x²-ax+（a-1）與x軸的交點坐標分別為（x₁，0），（x₂，0），則
x₁、x₂是一元二次方程x²-ax+（a-1）=0的兩個實數根，
由韋達定理得，x₁+x₂=a，x₁•x₂=（a-1），
則（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=a²-a+1=（a-）²+，
∵a為任意實數，∴（a-）²≥0，
∴（x₁-x₂）²≥，
∴|x₁-x₂|≥，
∴|x₁-x₂|的最小值是，即該函數的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為．
故答案是：．
點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題．利用二次函數與一元二次方程間的關系是解答此類題目常用的方法．