Question

函數y=x2-ax+

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4

(a-1)，其中a為任意實數，則該函數的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為

3

2

．

Answer 1

分析：設函數y=x²-ax+

1

4

（a-1）與x軸的交點坐標分別為（x₁，0），（x₂，0），則該函數的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為|x₁-x₂|．欲求|x₁-x₂|的最小值，需要根據關于x一元二次方程
x²-ax+

1

4

（a-1）=0的根與系數的關系與代數式的變形相結合求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=a²-a+1=（a-

1

2

）²+

3

4

，最后根據二次函數的最值的求法即可解得|x₁-x₂|的最小值．

解答：解：設函數y=x²-ax+

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4

（a-1）與x軸的交點坐標分別為（x₁，0），（x₂，0），則
x₁、x₂是一元二次方程x²-ax+

1

4

（a-1）=0的兩個實數根，
由韋達定理得，x₁+x₂=a，x₁•x₂=

1

4

（a-1），
則（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=a²-a+1=（a-

1

2

）²+

3

4

，
∵a為任意實數，∴（a-

1

2

）²≥0，
∴（x₁-x₂）²≥

3

4

，
∴|x₁-x₂|≥

3

2

，
∴|x₁-x₂|的最小值是

3

2

，即該函數的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為

3

2

．
故答案是：

3

2

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題．利用二次函數與一元二次方程間的關系是解答此類題目常用的方法．