Question

（1）如圖1，∠MON=80°，點A、B分別在射線OM、ON上移動，△AOB的角平分線AC與BD交于點P．試問：隨著點A、B位置的變化，∠APB的大小是否會變化？若保持不變，請求出∠APB的度數；若發生變化，求出變化范圍．
（2）如圖2，兩條相交的直線OX、OY，使∠XOY=n°，在射線OX、OY上分別再任意取A、B兩點，作∠ABY的平分線BD，BD的反向延長線交∠OAB的平分線于點C，隨著點A、B位置的變化，∠C的大小是否會變化？若保持不變，請求出∠C的度數；若發生變化，求出變化范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據三角形內角和定理及角平分線的性質求出∠APB的度數，再根據三角形內角和是180°即可求解；
（2）令∠OAC=∠CAB=x，∠ABD=∠BDY=y，再根據三角形的外角性質即可求解．

解答：（1）解：∵在△AOB中，∠MON=80°，
∴∠OAB+∠OBA=100°，
又∵AC、BD為角平分線，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

∠OAB+

1

2

∠OBA=

1

2

×100°=50°，
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=130°，
即隨著點A、B位置的變化，∠APB的大小始終不變，為130°．

（2）解：由題意，不妨令∠OAC=∠CAB=x，∠ABD=∠BDY=y，
∵∠ABY是△AOB的外角，
∴2y=n+2x，
同理，∠ABD是△ABC的外角，有y=∠C+x，
于是，顯然有∠C=

n°

2

．

點評：本題考查的是三角形的內角和定理及三角形外角的性質，解答此題的關鍵是熟知以下知識：①三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和；②三角形的內角和是180°．