Question

如圖，已知D是BC延長線上一點，DE切△ABC的外接圓于E，DE∥AC，AE、BC的延長線交于G，BE交AC于F．
（1）求證：AE²=AB•CD；
（2）若AE=2，EG=6，AB=3，求GD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接EC，由弦切角定理，易證得∠DEC=∠EAC，又由DE∥AC，易證得∠DEC=∠ACE，即可得∠ACE=∠EAC，由等角對等邊即可證得AE=EC，易證得△BEA∽△EDC，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可證得結論；
（2）由（1）可求得CD的長，然后根據平行線分線段成比例定理，即可求得GD的長．
解答：（1）證明：連接EC，
∵DE切△ABC的外接圓于E，
∴∠DEC=∠EAC，
∵DE∥AC，
∴∠ACE=∠DEC，
∴∠ACE=∠EAC，
∴AE=CE，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠ABE=∠DEC，
∵∠ECD+∠BCE=180°，∠BAE+∠BCE=180°，
∴∠BAE=∠ECD，
∴△BEA∽△EDC，
∴，
∴AE•EC=AB•CD，
∴AE²=AB•CD；

（2）解：∵AE=2，AB=3，
∴CD==，
∵DE∥AC，EG=6，
∴，
即，
解得：GD=4．
點評：此題考查了弦切角定理、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及平行線分線段成比例定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．