Question

18．如圖，O是等邊△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列結論：
①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；
②點O與O′的距離為4；
③∠AOB=150°；   
④四邊形AO BO′的面積為6+3$\sqrt{3}$；   
⑤S_△AOC+S_△AOB=6+$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．
其中正確的結論是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②③④
• C． ①②③⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①正確；
由△OBO′是等邊三角形，可知結論②正確；
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，故△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB=150°，故結論③正確；
S四邊形AOBO′=S_△AOO′+S_△OBO′=6+4$\sqrt{3}$，故結論④錯誤；
如圖②，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點．利用旋轉變換構造等邊三角形與直角三角形，將S_△AOC+S_△AOB轉化為S_△COO″+S_△AOO″，計算可得結論⑤正確．

解答 解：由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
在△BO′A和△BOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=O′B}\\{∠1=∠3}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△BO′A≌△BOC（SAS），
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，
故結論①正確；
如圖①，連接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等邊三角形，
∴OO′=OB=4．
故結論②正確；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故結論③正確；
S四邊形AOBO′=S_△AOO′+S_△OBO′=$\frac{1}{2}$×3×4+$\sqrt{3}$×4²=6+4$\sqrt{3}$，
故結論④錯誤；
如圖②所示，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點．
易知△AOO″是邊長為3的等邊三角形，△COO″是邊長為3、4、5的直角三角形，
則S_△AOC+S_△AOB=S_{四邊形AOCO″}=S_△COO″+S_△AOO″=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²=6+$\frac{9}{4}$，
故結論⑤正確．
綜上所述，正確的結論為：①②③⑤．
故選：C．

點評 本題考查了旋轉變換中等邊三角形，直角三角形的性質．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數3、4、5所構成的三角形是直角三角形，這是本題的要點．在判定結論⑤時，將△AOB向不同方向旋轉，體現了結論①-結論④解題思路的拓展應用．