Question

△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，如圖，現在△ABC內作一扇形，使扇形半徑都在△ABC的邊上，扇形的弧與△ABC的其他邊相切，則符合條件的扇形的半徑為

 

．

Answer 1

分析：根據在△ABC內作一扇形，使扇形半徑都在△ABC的邊上，扇形的弧與△ABC的其他邊相切應分三種情況：
（1）以2個頂點A、B為圓心，做扇形，半徑分別為AC和BC的長；
（2）以頂點C為圓心，做扇形，半徑為斜邊上的高；
（3）分別以三個內角平分線與對邊交點為圓心，做三個扇形，求其半徑．

解答：解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，AB上的高為

1 2 ×3×4

1 2 ×5

=

12

5

．
（1）以A點為圓心，以4為半徑作扇形，扇形與BC邊相切，符合題意；

（2）以點B為圓心，以3為半徑作扇形，扇形與AC邊相切，符合題意；

（3）以點C為圓心，以斜邊上的高

12

5

為半徑作扇形，扇形與AB邊相切，符合題意；

（4）過點A作∠A的平分線交BC于點E，以CE的長為半徑作扇形，扇形與AC和AB邊相切，
∵tan∠BCA=tan2∠CAE=

3

4

，
∴tan∠CAE=

1

3

，
∴半徑AE=tan∠CAE×AC=

4

3

，故以半徑

4

3

作扇形，符合題意；

（5）過點C作∠C的平分線交AB于點F，以EF的長為半徑作扇形，扇形與AC和BC邊相切，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB．
∴

AE

AC

=

EF

BC

即

4-CE

4

=

EF

3

．
∵EF=EC，
∴EF=

12

7

．
故以半徑

12

7

作扇形，符合題意；

（6）過點B作∠B的平分線交AC于點O，以OC的長為半徑作扇形，扇形與BC和AB邊相切，
∵tan∠ABC=tan2∠OBC=

4

3

，
∴tan∠OBC=

1

2

．
半徑OC=tan∠OBC×BC=

3

2

，故以半徑

3

2

作扇形，符合題意；
則符合條件的扇形的半徑為3，4，

12

5

，

4

3

，

12

7

，

3

2

．

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系，在解題過程中應注意一題多解的情況，防止漏解或錯解．