Question

（2013•沈陽）已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是

1，7

．

Answer 1

分析：根據題意畫出相應的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，當P與N重合時，HN為P到BC的最小距離；當P與M重合時，MQ為P到BC的最大距離，根據題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值求出DB與FB的長，以及CG與CE的長，進而由DB+BC+CE求出DE的長，由BC-BF-CG求出FG的長，求出等邊三角形NFG與等邊三角形MDE的高，即可確定出點P到BC的最小距離和最大距離．

解答：解：根據題意畫出相應的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，
當P與N重合時，HN為P到BC的最小距離；當P與M重合時，MQ為P到BC的最大距離，
根據題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形，
∴DB=FB=

1

sin60°

=

2 3

3

，CE=CQ=

2

sin60°

=

4 3

3

，
∴DE=DB+BC+CE=

2 3

3

+

8 3

3

+

4 3

3

=

14 3

3

，FG=BC-BF-CG=

2 3

3

，
∴NH=

3

2

FG=1，MQ=

3

2

DE=7，
則點P到BC的最小距離和最大距離分別是1，7．
故答案為：1，7

點評：此題考查了等邊三角形的性質，以及平行線間的距離，作出相應的圖形是解本題的關鍵．