Question

（2009•武漢模擬）如圖，O是△ABC的外接圓的圓心，∠ABC=60°，BF，CE分別是AC，AB邊上的高且交于點H，CE交⊙O于M，D，G分別在邊BC，AB上，且BD=BH，BG=BO，下列結論：①∠ABO=∠HBC；②AB•BC=2BF•BH；③BM=BD；④△GBD為等邊三角形，其中正確結論的序號是（ ）

A．①②
B．①③④
C．①②④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：①，延長AO交圓于點N，連接BN，可證明∠ABO=∠HBC．因此①正確；
②原式可寫成=，無法直接用相似來求出，那么可通過相等的比例關系式來進行轉換，不難發現三角形BEC中，∠ABC=60°，那么BC和BE存在倍數關系，即BC=2BE，因此如果證得=，可發現這個比例關系式正好是相似三角形BEH和BAF的兩組對應線段，因此本題的結論也是正確的．
③要證MB=BD，先看與BD相等的線段有哪些，不難通過相似三角形ABN和BFC（一組直角，∠OBA=∠OAB=∠FBC）得出，將這個結論和②的結論進行置換即可得出：BD=BO=BH=BG，因此可證MB和圓的半徑相等即可得出BM=BD的結論．如果連接NC，在三角形ANC中∠ANC=∠ABC=60°，因此AN=2NC，NC就是半徑的長．通過相似三角形BME和CAE可得出，而在直角三角形BEC中，BE：EC=tan30°，而在直角三角形ANC中，NC：AC=tan30°，因此，即可得出BM=NC=BO=BD．因此該結論也成立．
④在③中已經得出了BD=BG=BO=BH，而∠ABC=60°，因此三角形BGD是等邊三角形．本結論也成立．
因此四個結論都成立，
解答：解：①延長AO交圓于點N，連接BN，則∠ABN=90°，又∠ACB=∠N，∠ABO=∠BAO，所以∠ABO=∠HBC．因此①正確；
②原式可寫成=，∠ABC=60°，那么BC=2BE，因此=，所以本題的結論也是正確的．
③∵△ABN∽△BFC（一組直角，∠OBA=∠OAB=∠FBC）∴，BD=BO=BH=BG，BM=BD．
連接NC，在三角形ANC中∠ANC=∠ABC=60°，∴AN=2NC，BE：EC=tan30°，
在直角三角形ANC中，NC：AC=tan30°，，∴BM=NC=BO=BD．
因此該結論也成立．
④在③中已經得出了BD=BG=BO=BH，而∠ABC=60°，因此三角形BGD是等邊三角形．本結論也成立．
因此四個結論都成立，
故選D．
點評：本題中線段較多，要找準和已知，所求的條件相關的線段，然后逐一梳理思路，通過相似三角形來進行求解．