Question

3．已知：如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，O，M，N分別為AB，AD，BE的中點，連接OM，ON，MN．
（1）求證：OM=ON，OM⊥ON．
（2）將圖1中△CDE繞點C逆時針旋轉得圖2，記旋轉角為α（0°＜α＜180°）．已知BC=2CD=6，求在旋轉過程中線段MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）連結OC，如圖1，根據AC=BC，CD=CE，M，N分別為AD，BE的中點，利用等線段代換可證明AM=CN，再根據三角形三角形斜邊上的中線性質得到OC=OA，∠BOC=∠A=45°，∠AOC=90°，于是可根據“SAS”判斷△OCN≌△OAM，則ON=OM，∠CON=∠AOM，然后證明∠MON=90°得到OM⊥ON；
（2）連結BD，如圖2，先判斷△OMN為等腰直角三角形得到MN=$\sqrt{2}$OM，再判斷OM為△ABD的中位線得到OM=$\frac{1}{2}$BD，則MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，所以當BD的長最小時，MN的長最小，由于點D在以C點為圓心，CD為半徑的圓上，則可判斷點B到⊙C的最短距離就是BD的最小值，此時點D在BC上，所以BD的最小值為3，則MN的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

解答 （1）證明：連結OC，如圖1，
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵M，N分別為AD，BE的中點，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$（AC-CD）=$\frac{1}{2}$（BC-CE）=$\frac{1}{2}$（BN+CN-CE）=$\frac{1}{2}$（NE+CN-CE）=$\frac{1}{2}$（NC+CE+CN-CE）=CN，
∵點O為等腰直角三角形斜邊AB的中點，
∴OC=OA，∠BOC=∠A=45°，∠AOC=90°，
在△OCN和△OAM中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{∠OCN=∠A}\\{CN=AM}\end{array}\right.$，
∴△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，∠CON=∠AOM，
∵∠AOM+∠COM=90°，
∴∠COM+∠CON=90°，即∠MON=90°，
∴OM⊥ON；
（2）解：連結BD，如圖2，
∵OM=ON，∠MON=90°，
∴△OMN為等腰直角三角形，
∴MN=$\sqrt{2}$OM，
∵點O、M分別為AB、AD的中點，
∴OM為△ABD的中位線，
∴OM=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
當BD的長最小時，MN的長最小，
∵點D在以C點為圓心，CD為半徑的圓上，
∴點B到⊙C的最短距離就是BD的最小值，此時點D在BC上，
∵BC=2CD=6，
∴BD的最小值為3，
∴MN的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．解決本題的關鍵是靈活應用等腰直角三角形的性質．