Question

已知四邊形ABCD兩條對角線互相垂直，點O是對角線的交點，∠ACD=60°，∠ABD=45°，點A到CD的距離是6，點D到AB的距離是8，求四邊形ABCD的面積S．

Answer 1

解：過點A作CD的垂線，E是垂足，過點D作AB的垂線，F是垂足，取AC的中點G，連接EG，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
∴CG=GE，
又∵∠ACD=60°，
∴△GCE是等邊三角形，
∴CE=CG=，
由勾股定理，得AC²=CE²+AE²，
∴，
解得：，
∵∠DFB=90°，∠ABD=45°，
∴∠FBD=∠FDB
∴△FBD是等腰直角三角形，
∴．
∴四邊形ABCD的面積S=S_△ABD+S_△BCD，
=BD•AO+BD•CO，
=，
=．
答：四邊形ABCD的面積S是16．
分析：過點A作CD的垂線，過點D作AB的垂線，取AC的中點G，連接EG，證出等邊△CGE和等腰直角△BFD，根據勾股定理求出AC和DB的長度，利用面積公式即可求出四邊形ABCD的面積．
點評：本題主要考查了面積與等積變換，等邊三角形的性質和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形等知識點，正確作輔助線求出AC和BD的長是解此題的關鍵．