Question

如圖，一個半徑為2

2

的圓經過一個半徑為4的圓的圓心，則圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

分析：連接O₁O₂，O₁A，O₁B，O₂A，O₂B，由勾股定理的逆定理得∠O₂O₁A=∠O₂O₁B=90°，則點A、O₁、B在同一條直線上，則AB是圓O₁的直徑，從的得出陰影部分的面積S_陰影=

1

2

S_⊙1-S_弓形AO1B=

1

2

S_⊙1-（S_扇形AO2B-S_△AO2B）．

解答：解：連接O₁O₂，O₁A，O₁B，O₂A，O₂B，

∵O₁O₂=O₁A=2

2

，O₂A=4，
∴O₁O₂²+O₁A²=O₂A²，
∴∠O₂O₁A=90°，同理∠O₂O₁B=90°，
∴點A、O₁、B在同一條直線上，并且∠AO₂B=90°，
∴AB是圓O₁的直徑，
∴S_陰影=

1

2

S_⊙1-S_弓形AO1B=

1

2

S_⊙1-（S_扇形AO2B-S_△AO2B）
=

1

2

π（2

2

）²-

1

4

π×4²+

1

2

×4×4=8
故答案為8．

點評：本題考查了扇形面積的計算、勾股定理和相交兩圓的性質，解題的關鍵是發現陰影部分的面積的計算方法．