Question

如圖，一個半徑為2

2

的圓經過一個半徑為4的圓的圓心，則圖中陰影部分的面積為

8

．

Answer 1

分析：連接AC，BC，DC，AB，求出AD和DC的平方和，求出AC的平方，根據勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，同理求出∠BDC=90°，推出A、D、B三點共線，即AB過D，根據AD=DC=BD求出∠ACB=90°，根據扇形ACB的面積和三角形ACB的面積求出弓形AmB的面積，求出半圓D的面積減去弓形AmB的面積即可得出答案．

解答：解：
連接AC，BC，DC，AB，
∵⊙D過⊙C的圓心C，⊙D和⊙C交于A、B，
∴AD=BD=DC=2

2

，AC=4，
AD²+DC²=AC²=16，
∴∠ADC=90°，
同理∠BDC=90°，
∴A、D、B三點共線，
即D在兩圓的公共弦AB上，
∵AD=CD=BD，
∴∠ACB=90°，
∴S_弓形AmB=S_扇形ACB-S_△ACB=

90π×42

360

-

1

2

×（2

2

+2

2

）×2

2

=4π-8，
∴陰影部分的面積是

1

2

×π×(2

2

)2-（4π-8）=8，
故答案為：8．

點評：本題考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的判定、扇形的面積、三角形的面積、平角的定義、相交兩圓的性質等知識點，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．