Question

如圖，已知AB是半圓O的直徑，AP為過點A的半圓的切線．在上任取一點C（點C與A、B不重合），過點C作半圓的切線CD交AP于點D；過點C作CE⊥AB，垂足為E．連接BD，交CE于點F．
（1）當點C為的中點時（如圖1），求證：CF=EF；
（2）當點C不是的中點時（如圖2），試判斷CF與EF的相等關系是否保持不變，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得DA⊥AB，點E為半圓的圓心，DC⊥EC，可得四邊形DAEC是矩形，即可得出，即可得EF與EC的關系，可知CF=EF；
（2）連接BC，并延長BC交AP于G點，連接AC，由切線長定理可得DC=DA，∠DAC=∠DCA，再由角度代換關系可得出∠DGC=∠DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥AP，所以，即可知CF=EF．
解答：證明：（1）∵DA是切線，AB為直徑，
∴DA⊥AB．
∵點C是的中點，且CE⊥AB，
∴點E為半圓的圓心．
又∵DC是切線，
∴DC⊥EC．
又∵CE⊥AB，
∴四邊形DAEC是矩形．
∴CD∥AO，CD=AD．
∴=．
即EF=AD=EC．
∴F為EC的中點，CF=EF．

（2）CF=EF，
證明：連接BC，并延長BC交AP于G點，連接AC，如圖所示：
∵AD、DC是半圓O的切線，∴DC=DA，
∴∠DAC=∠DCA．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACG=90°．
∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°．
∴∠DGC=∠DCG．
∴在△GDC中，GD=DC．
∵DC=DA，
∴GD=DA．
∵AP是半圓O的切線，
∴AP⊥AB，又CE⊥AB．
∴CE∥AP．
∴．
∵GD=AD，
∴CF=EF．
點評：本題主要考查了切線的性質．