Question

如圖，P是⊙O外一點，PAB，PCD分別與⊙O相交于A，B，C，D．
（1）PO平分∠BPD；（2）AB=CD；（3）OE⊥CD，OF⊥AB；（4）OE=OF．
從中選出兩個作為條件，另兩個作為結論組成一個真命題，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：本題為開放性題目，可有多種組合，例如：
條件③④結論①②，若OE⊥CD，OF⊥AB；OE=OF，根據角平分線的性質可知PO平分∠BPD；AB=CD；
命題2，條件②③結論①④．若AB=CD；OE⊥CD，OF⊥AB；根據垂徑定理可知OE=OF，根據角平分線的性質可知PO平分∠BPD．
解答：解：命題1，條件③④結論①②；命題2，條件②③結論①④．
證明：命題1
連接OA，OC，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴AB=2AF，CD=2CE，
∵OE=OF，OA=OC，∠AFO=∠CEO，
∴△AFO≌△CEO（HL），
∴AB=CD，
同時可知，△PFO≌△PEO，
PO平分∠BPD．
點評：此題考查的是垂徑定理及角平分線的性質，比較簡單．本題為開放性題目，可有多種組合，只要符合這四個已知條件即可．