Question

18．如圖，已知在∠ABC中，BD為∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求證：
（1）BD平分∠ADC；
（2）PM=PN．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBD全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ADB=∠CDB即可；
（2）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證明即可．

解答 證明：（1）∵BD為∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABD=∠CBD}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC；
（2）∵∠ADB=∠CDB，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．

點評 本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，確定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解題的關鍵．