Question

7．在坐標系中，A、B兩點坐標分別為（-4，0）、（0，2），以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．
①求邊AB的長； 
②求點C的坐標；
③你能否在x軸上找一點M，使△MDB的周長最小？如果能，請畫出M點，并直接寫出△MDB周長的最小值；如果不能，說明理由．

Answer 1

分析 ①直接利用坐標系中兩點間的距離公式即可；
②先判斷出，△BCE≌△ABO，進而得出CE=OB=2，BE=OA=4，即可得出點C坐標；
③同②的方法得出點D坐標，再作出點B關于x軸的對稱點，連接DG即可找出點M，利用兩點間的距離公式求出DG，BD，即可得出△MDB周長的最小值．

解答 解：①∵A、B兩點坐標分別為（-4，0）、（0，2），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
②如圖1，

∵A、B兩點坐標分別為（-4，0）、（0，2），
∴OA=4，OB=2，
過點C作CE⊥OB于E，
∴∠BEC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
在△BCE和△ABO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠AOB=90°}\\{∠CBE=∠BAO}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴CE=OB=2，BE=OA=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（2，6）；
③如圖2，過點D作DF⊥OA于F，
同②的方法得出，△ADF≌△BAO，
∴DF=OA=4，AF=OB=2，
∴OF=OA+AF=6，
∴D（-6，4），

作出點B關于x軸的對稱點G，連接DG交x軸于M，
∵B（0，2），
∴G（0，-2），BM=GM，
∵D（-6，4），
∴BD=2$\sqrt{10}$，DG=$\sqrt{{6}^{2}+（-2-4）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴△MDB周長的最小值=BD+BM+DM=BD+GM+DM=BD+DG=2$\sqrt{10}$+6$\sqrt{2}$

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了平面坐標系中兩點間的距離公式，全等三角形的判定和性質，對稱性，解本題的關鍵是判斷出△BCE≌△ABO，是一道比較簡單的中考常考題．