Question

2．如圖，線段AC、BD交于點M，過B、D兩點分別作AC的垂線段BF、DE，AB=CD
（1）若∠A=∠C，求證：FM=EM；
（2）若FM=EM，則∠A=∠C．是真命題嗎？（直接判斷，不必證明）

Answer 1

分析 （1）由條件可先證明△ABF≌△CDE，可得BF=DE，再證明△BFM≌△DEM，可得到FM=EM；
（2）由條件可先證明△BFM≌△DEM，可得BF=DE，再證明△ABF≌△DEM，可得∠A=∠C．

解答 （1）證明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{∠AFB=∠CED}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
在△BFM和△DEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFM=∠DEM}&{\;}\\{∠BMF=∠DME}&{\;}\\{BF=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BFM≌△DEM（AAS），
∴FM=EM；
（2）解：真命題；理由如下：
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFM=∠DEM=90°，
在△BFM和△DEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFM=∩DEM}&{\;}\\{FM=EM}&{\;}\\{∠BMF=∠DMF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BFM≌△DEM（ASA），
∴BF=DE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BF=DE}\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴∠A=∠C．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL