Question

17．如圖，在△ABC中，點D在∠ACB的平分線上，過點D作BC的平行線與∠ACB的外角平分線相交于點E，DE交AC于點F
（1）判斷△CDE的形狀，并說明理由；
（2）判斷DF與EF的大小關(guān)系，并說明理由；
（3）若調(diào)整點D的位置，使DE與CA的延長線相交于點F，（2）中結(jié)論成立嗎？

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：△CDE是直角三角形，只要證明∠DCE=90°即可．
（2）結(jié)論：DF=EF．只要證明DF=FC，F(xiàn)C=EF即可．
（3）結(jié)論仍然成立，理由類似（2）．

解答 解：（1）結(jié)論：△CDE是直角三角形．
理由：∵∠DCB=∠DCA，∠ECF=∠ECG，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACG）=90°，
∴△EDC是直角三角形．

（2）結(jié)論：DF=EF．
理由：∵DE∥BC，
∴∠FDC=∠DCB，∠E=∠ECG，
∵∠DCB=∠DCA，∠ECA=∠ECG，
∴∠FDC=∠FCD，∠E=∠FCE，
∴DF=FC，F(xiàn)C=EF，
∴DF=EF．

（3）如圖2中，結(jié)論仍然成立：DF=EF．
理由：∵DE∥BC，
∴∠FDC=∠DCB，∠E=∠ECG，
∵∠DCB=∠DCA，∠ECA=∠ECG，
∴∠FDC=∠FCD，∠E=∠FCE，
∴DF=FC，F(xiàn)C=EF，
∴DF=EF．

點評 本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．