Question

關于x的方程x²－2（k－1）x＋k² = 0的兩實根x₁、x₂滿足x₁x₂－1.點A為直線y =" x" 上一點，過A作AC⊥x軸交x軸于C，交雙曲線于B，求OB²－AB²的值。

Answer 1

k = －3， OB²－ AB² ="-" 6 .

試題分析： ∵方程x²－2（k－1）x＋k² = 0的兩實根x₁、x₂   ，
∴x₁+x₂ =2（k－1 ）,     x₁x₂= k² 
∴x₁x₂－1
∴ == k² -1
∴ k="1" 或 k=-3
又 =b² – 4 a c =4（k－1）² - 4 k² 0 即 k 2
∴ k=-3
∴關于x的方程 x²+8x+9=0
∴交雙曲線y= 
根據(jù)題意畫出圖象：

∵點A為直線y=x上一點，∴AC=CO，
∵OB²=OC²+BC²，AB²=（AC+BC） ²=OC²+BC²+2 OC•BC，
∴OB²-AB²=OC²+BC²-（OC²+BC²+2OC•BC）=-2 =-2k=-6．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)關系的應用以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用，關鍵是列出關于k的方程以及利用勾股定理得出OB²-AB²=-2OC•BC．