Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，點B（a，a）在第一象限內，且a是關于x的方程$\frac{x-1}{2}$+a=4的解，且BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C
（1）求△AOB的面積；
（2）若E為線段OC上的一點，連EA，G是線段AE的中點，連BG、CG，猜想：∠BGC與∠OCG的數量關系，并驗證你的猜想；
（3）如圖2，若E為OC延長線上一點，連BE，作BF⊥BE交x軸于F，連EF，作∠OEF的平分線交OB于Q，過Q作QH⊥EF于H，下列兩個式子：①$\frac{1}{2}$EF-QH；②$\frac{1}{2}$EF+QH，中有一個結果為定值，請找出并求出其定值．

Answer 1

分析 （1）根據方程的解的定義，求出a，可得點B坐標，即可求出△AOB的面積．
（2）結論：∠BGC=2∠OCG．如圖1中，作GM⊥BC于M．只要證明GC=GM，即可推出∠MGC=∠MGB，由MG∥OC，推出∠MGC=∠GCO，推出∠CGB=2∠OCG．
（3）結論：②是定值．由△BCE≌△BAF，推出EC=AF，推出OE+OF=OC+CE+OA-AF=2OA=6，由OB平分∠FOE，QE平分∠OEF，推出點Q是△EOF的內心，由QH⊥EF，QN⊥EO，QP⊥OF，推出QH=QN=QP=$\frac{OE+OF-EF}{2}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵a是關于x的方程$\frac{x-1}{2}$+a=4的解，
∴$\frac{a-1}{2}$+a=4，
∴a=3，
∴B（3，3），
∵BA⊥x軸，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$．

（2）結論：∠BGC=2∠OCG．
理由：如圖1中，作GM⊥BC于M．

∵四邊形ABCO是正方形，
∴AB∥OC，BC∥OA，
∵EG=GA，GM∥CE∥AB，
∴CM=MB，
∴GC=GB，
∴∠MGC=∠MGB，
∵MG∥OC，
∴∠MGC=∠GCO，
∴∠CGB=2∠OCG．

（3）結論：②是定值．
理由：如圖2中，作QP⊥OA于P，QN⊥OC于N．

∵∠EBF=∠CBA=90°，
∴∠EBC=∠ABF，
在△BCE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠BAF}\\{∠EBC=∠ABF}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BAF，
∴EC=AF，
∴OE+OF=OC+CE+OA-AF=2OA=6，
∵OB平分∠FOE，QE平分∠OEF，
∴點Q是△EOF的內心，
∵QH⊥EF，QN⊥EO，QP⊥OF，
∴QH=QN=QP=$\frac{OE+OF-EF}{2}$，
∴QH=$\frac{EO+OF}{2}$-$\frac{1}{2}$EF，
∴$\frac{1}{2}$EF+QH=$\frac{EO+OF}{2}$=3=定值．

點評 本題考查三角形綜合題、正方形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、直角三角形的內切圓半徑等知識，解題的關鍵是記住直角三角形內切圓半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．