Question

已知拋物線y=-

1

2

x²+bx+4上有不同的兩點E（k+3，0）和F（-k-1，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖，拋物線y=-

1

2

x²+bx+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側以M為中心旋轉，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D．設AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數關系式．
（3）當k＞0且∠PMQ的邊過點F時，求m、n的值．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y=-

1

2

x²+bx+4上有不同的兩點E（k+3，0）和F（-k-1，0），得出對稱軸進而得出b的值；
（2）利用旋轉的性質得出∠BCM=∠AMD，進而得出△BCM∽△AMD，即可求出n和m之間的函數關系式；
（3）根據F（-k-1，0）在y=-

1

2

x2+x+4上，求出k的值，進而得出①MF過M（2，2）和F（-2，0），求出直線MF的解析式，進而得出直線MF與x軸交點為（-2，0），與y軸交點為（0，1），根據若MP過點F（-2，0），則n=4-1=3，m=

8

3

，若MQ過點F（-2，0），則m=4-（-2）=6，n=

4

3

，再根據②MF過M（2，2）和F（-4，-8），求出m，n的值即可，

解答：解：（1）拋物線y=-

1

2

x2+bx+4的對稱軸為x=-

b

2×(- 1 2 )

=b．　
∵拋物線上不同兩個點E （k+3，0）和F （-k-1，0）的縱坐標相同，
∴點E和點F關于拋物線對稱軸對稱，則　b=

(k+3)+(-k-1)

2

=1，且k≠-2．
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+x+4．　
　　　　　　　　　　
（2）∵拋物線y=-

1

2

x2+x+4與x軸的交點為A（4，0），與y軸的交點為B（0，4），
∴AB=4

2

，AM=BM=2

2

．　　　　　　　　　　　　　　　　
在∠PMQ繞點M在AB同側旋轉過程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直線AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°．
∴∠BCM=∠AMD．
故△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴

BC

AM

=

BM

AD

，
即　

n

2 2

=

2 2

m

，
n=

8

m

．
故n和m之間的函數關系式為n=

8

m

（m＞0）．　　
　　　　　　　
（3）∵F（-k-1，0）在y=-

1

2

x2+x+4上，
∴-

1

2

(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1，
化簡得，k²-4k+3=0，
∴k₁=1，k₂=3．　　　　       
∵k＞0，
∴F（-2，0）或（-4，0）．　　    　　　　　　　　　　
①當MF過M（2，2）和F（-2，0），設MF為y=kx+b，
則　

2k+b=2 -2k+b=0.

解得，

k= 1 2 b=1.

∴直線MF的解析式為y=

1

2

x+1．
直線MF與x軸交點為（-2，0），與y軸交點為（0，1）．
若MP過點F（-2，0），則n=4-1=3，m=

8

3

；
若MQ過點F（-2，0），則m=4-（-2）=6，n=

4

3

．　　
②MF過M（2，2）和F₁（-4，-8），設MF為y=kx+b，
則

2k+b=2 -4k+b=-8

，
解得

k= 5 3 b=- 4 3

；
∴直線MF的解析式為 y=

5

3

x-

4

3

；
直線MF與x軸交點為（

4

5

，0），與y軸交點為（0，-

4

3

）；
若MP過點F（-4，-8），則n=4-（-

4

3

）=

16

3

，m=

3

2

；
若MQ過點F（-4，-8），則m=4-

4

5

=

16

5

，n=

5

2

；
故當

m1= 8 3 n1=3

，

m2=6 n2= 4 3

，

m3= 3 2 n3= 16 3

，

m4= 16 5 n4= 5 2

時，∠PMQ的邊過點F．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合以及相似三角形的判定與性質以及待定系數法求一次函數解析式等知識，利用數形結合得出M，F點的坐標是解題關鍵．