Question

如圖，直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內作等邊△AOB，點C為x正半軸上一動點（OC＞1），連結BC，以線段BC為邊在第四象限內作等邊△CBD，直線DA交y軸于點E．
（1）△OBC與△ABD全等嗎？判斷并證明你的結論；
（2）將等邊△AOB沿x軸翻折，B點的對稱點為B′．
①點B′會落在直線DE上么？請說明理由；
②隨著點C位置的變化，點E的位置是否會發生變化？若沒有變化，求直接寫出點E的坐標；若有變化，請說明理由．

Answer 1

（1）△OBC與△ABD全等，理由如下：
：∵△AOB是等邊三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
又∵△CBD是等邊三角形
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD（SAS）．
（2）①點B'會落在直線DE上．
由（1）得，∠BAD=∠AOB=60°，
從而得∠CAD=60°，所以∠OAE=60°．
所以∠OAB=∠OAE，
所以，點B'會落在直線DE上．
②∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=2，
∴OE==，
∴點E的位置不會發生變化，E的坐標為E（0，）．
分析：（1）△OBC與△ABD全等，由等邊△AOB和等邊△CBD得到全等條件；
（2）①點B'會落在直線DE上，通過證明所以∠OAB=∠OAE即可；②根據（1）容易得到∠OAE=60°，然后在中根據直角三角形30°，所對的直角邊等于斜邊的一半可以得到AE=2，從而得到E的坐標是固定的．
點評：此題把全等三角形的性質與判定和一次函數的圖象結合起來，利用全等三角形的性質和判定求坐標，有一定綜合性．